コラム・特集

7.8 M|G|1モデル

IEハンドブック
第13部 IE技術者の定量的方法論

第7章 待ち行列の理論

7.8 M|G|1モデル

M|G|1モデルの場合 ,サービス時間分布は一般型である。その平均を1/μ ,分散をV<∞としよう。

このとき、

1.システム内の平均客数は,
ρ+(λ^2・V+p^2)/2(1-p)となる。
これは「 Pollaczek Khintchineの公式」である。
この式より,たとえ平均サービス時間を減少できなくても,サービス時間の分散を小さくすることで,平均待ち行列長さを減じられることか分かる。この平均というのは, 1人の客かサービスを受け終わって去った瞬間のことであることに注意していただきたい。

2.平均待ち行列長さは ,
(λ^2V+ρ^2)/ 2(1-ρ)
となる。

3.サービス人が遊体である確率は1-ρ =1-λ /μ である。よつて,ここでもρを利用率と解釈できる

4.待ち行列の規律をやはり先着順として,客かシステム内で費やす平均時間は

1/λ[p+(λ^2V+p^2 / 2(1-P)]

となる。この式もまた,PollaczekーKhintchineの公式といわれる。以上の結果は,特殊形として M|M|1モデルやM|D|1モデルに適用できる。

例13.7.1   λ=7人/時 ,μ=10人/時のM|M|1モデルを考えよう。すなわち,時間当りの到着数はパラメー タλ=7のポアソン分布であり,サービス時間は平均1/10時間,つまり6分の指数分布である 。定常分布に おいて,次の結果を得る利用率あるいはトラフィック密度はρ =λ /μ =0.70である。システム内にいる客の数 の期待値はρ/(1-ρ )=233.3人以上が待ち行列内にいる確率はρ3=0.343 サービスの時間を含め待ち行列中で費やす平均時間は(μ―λ)1=0.33時間=20分サービスを受けるまでに待ち行列中で費やす平均時間はλ / μ (μ ―λ)=14分。待ち時間の分布は平均1/3時間の指数分布である。

 本コラムは絶版となっている「IEハンドブック(サルベンティ編・日本能率協会訳・1986)」をアーカイブとして掲載するものです。このハンドブックの各章は多くの事例と理論を通して生産性向上に対するアイデアを提供するべく専門家によって執筆されています。基盤をなしているIEの考え方・原則はインダストリアル・エンジニアリングにかかわるすべてのひとに有用でしょう。

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