コラム・特集

6.4 線形生産システム

IEハンドブック

第9部 エンジニアリング・エコノミー

第6章 生産の経済学

6.4 線形生産システム

明らかに線形の,2つ以上のプロセスを使用して同じ産出物を生産しているところで,異なる結合がなされるとき,投入の代替が生じる。いま, qjがプロセスjからの産出量を表わし, qjのの総和が全産出量qとなる。そして,aijがプロセスjを用いる投入グの量を表わすとすれば,線形システムの生産関数は,つぎのようなLP式にまとめることができる。

q=maximum (ql+q2+… ……十qn)
ただし,
qj≧ 0,for j=1,2,… … ,n
xl≧ a 11 q1+a12q2+… … +a1nq n

xm ≧ am1q1+am2q2+… ……+amnqn           (6)

以下は1製品, 2資源,2生産プロセス(両プロセスが生産物を産出する)の線形生産プロセスの例であって,生産関数は,つぎのように表わされる。

q=maximum(q1+q2); q1≧ o, q2≧ 0
x1≧ 1.00 q1+0.50 q2

X2≧ 0・25 ql+loO q2                           (7)

このシステムで,一定産出量qの等量線は図表9.6.2の3つの直線からなり,それらは以下の諸式で表わされる。

X2 ≧ a22q =のとき,x1=a12q=0.5q                 (8)
x1 ≧ all q =のとき,x2=a21q=0.25q                 (9)

X1とX2が(8),(9)式と違うとき,

X2=(a11 a22 q-a12a21q-a22X1+a21X1)/(a11-a12)    (10)

すなわち、

x2=1.75q-1.5×1                                                            (11)

あとの式は同図の2直線P1とP2に囲まれた斜めの直線である。なお, PlとP2は,投入比x2/X1がa21/a11=025とa22/a12=2の場合である。この斜めの直線部分を正常生産領域という。正常生産領域における限界生産量と技術的代替比は以下のとおりである。

q’1=(a22-a21)/(a11a21-a12a21)=6/7                        (12)

q’2=(a11-a12)/(a11a22-a12a21)=4/7                        (13)

q’1/q’2=(a22-a21)/(a11-a12)=1.5                              (14)

技術的代替比が定数であることは,等量線上で完全な代替が可能であることを示している。また,正常生産領域での産出量は以下の諸式で求められる。

q     =   (  (a22-a21)X1+(a11-a12)X2)/(a11a22-a12a21   )
=q’1×1+q’2X2=6×1+4×2/7                                              (15)

q1 =  (a22-x1-a12x2)/(a11a22-a12a21)=8×1-4×2/7   (16)

q2 =  (a11-x2-a21x1)/(a11a22-a12a21)=8×2-2×1/7   (17)

以上の諸式は,(7)式のLP問題の正常領域での解である。そして,限界生産量を表わす(12)(13)式は2変数のLP問題の最適値である。この分析は投入が3種類以上,プロセスが3つ以上の線形システムヘも拡張が可能である。

 本コラムは絶版となっている「IEハンドブック(サルベンティ編・日本能率協会訳・1986)」をアーカイブとして掲載するものです。このハンドブックの各章は多くの事例と理論を通して生産性向上に対するアイデアを提供するべく専門家によって執筆されています。基盤をなしているIEの考え方・原則はインダストリアル・エンジニアリングにかかわるすべてのひとに有用でしょう。

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